TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

O efeito Zeeman é o desdobramento das raias espectrais de um espectro em resposta à aplicação de um campo magnético a uma amostra.

Histórico[editar | editar código-fonte]

Efeito Zeeman normal: das 15 transições possíveis entre os estados l = 2 e l = 1, separadas pelo campo magnético, ocorrem apenas 9, correspondendo a ∆m = m_i - m_f -1, 0, 1, sob a forma de três linhas.

Em 1902, O Prêmio Nobel de Física foi concedido aos físicos holandeses Pieter Zeeman (1865-1943) e Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) por suas investigações sobre o efeito do magnetismo sobre a radiação eletromagnética.

Em 1895, Lorentz publicou um trabalho intitulado Versuch einer Theorie der eletrischen und optichen Erscheinungen in bewegten kórpern , no qual apresentou a famosa teoria das partículas carregadas, denominadas por ele de íons, com o qual afirmou que são as oscilações dessas “partículas” constituintes dos corpos ponderáveis as responsáveis pela emissão do espectro luminoso de alguns deles.

Portanto, sendo isso verdade, Lorentz afirmou ainda que, se tais corpos fossem colocados em uma região contendo um campo magnético, aquelas oscilações deveriam sofrer alterações, provocando modificação no espectro luminoso, de tal modo que cada linha espectral emitida na ausência do campo magnético seria decomposta em três linhas por interferência desse referido campo. E mais ainda, continuou Lorentz com o seu raciocínio, quando a observação é feita na direção do campo magnético, aparecerão apenas duas linhas polarizadas circularmente e em sentido inverso uma da outra; quando a observação é feita perpendicularmente ao campo, aparecerão três linhas, sendo a central polarizada linearmente à direção do campo (componente π), e as duas extremas, polarizadas também linearmente, porém perpendicularmente à direção do campo (componente σ); essa denominação deriva da palavra alemã senkrecht que significa perpendicular.^[1]

Em 1896, Zeeman publicou um trabalho na Verhandlungen der physikalischen Gesellschaft zu berlin 7 (p. 128), no qual confirmou experimentalmente as previsões que seu professor Lorentz fizera em 1895, da ação do campo magnético sobre as linhas espectrais. Em sua experiência, Zeeman usou uma bobina de Rühmkorff de corrente de 27 Ampères e uma grade de difração de Rowland de 44.983 linha/polegadas. Com esse equipamento, observou que a linha D do sódio (Na) separava-se em três, quando uma amostra desse elemento químico era colocado na região de forte campo magnético. Este fenômeno ficou mundialmente conhecido como efeito Zeeman normal.

Efeito normal e anômalo[editar | editar código-fonte]

O efeito Zeeman normal é aquele pelo qual acontece o desdobramento de uma linha espectral de duas maneiras diferentes. Se a observação se fizer ao longo de uma direção paralela ao vetor de indução magnética ${\displaystyle {\vec {B}}}$, então a linha espectral original do espectro (na ausência de campo magnético) desdobrar-se-á em duas linhas. Se a observação for feita em uma direção perpendicular ao vetor ${\displaystyle {\vec {B}}}$, a linha original desdobrar-se-á em três linhas.

O efeito Zeeman anômalo em espectros na região vísivel do espectro eletromagnético é o desdobramento de uma risca espectroscópica original em 2j + 1 raias diferentes, onde j é a projecção do vetor momento angular qüântico sobre o eixo de quantização. Ocorre em campos fracos. A separação entre as raias espectrais varia.

Se o campo for muito intenso, sobrepujará o campo eletromagnético próprio do átomo e ocasionará o desdobramento das linhas em multipletos com separação constante. A esse efeito dá-se o nome de efeito Paschen-Back.

Fenomenologia[editar | editar código-fonte]

Na maioria dos átomos, existem muitas configurações que têm a mesma energia, então estas transições entre diferentes pares de configurações correspondem a uma linha única. A presença de um campo magnético desfaz essa degenerescência, uma vez que interage de diferentes maneiras com os elétrons de diferentes números quânticos, modificando ligeiramente suas energias. O resultado é que, onde havia muitas configurações com a mesma energia, agora há energias diferentes, o que faz aparecer muitas linhas espectrais.

Uma vez que a distância entre os sub-níveis de Zeeman é proporcional ao campo magnético, este efeito foi usado por astrônomos para medir o campo magnético do Sol e de outras estrelas.

Também há um efeito Zeeman anômalo que aparece nas transições onde a teia de spins dos elétros não é 0. Se chama anômalo porquê o spin não tinha sido descoberto e então não havia uma boa explicação para o fenômeno. Na verdade naquele momento procurava-se a comprovação de um momento angular do átomo e o que estava sendo representado pelo experimento era o spin eletrônico. Se a intensidade do campo magnético é muito grande, o efeito não é mais linear, este efeito é chamado efeito Paschen-Back.

A frequência de Larmor e o efeito Zeeman normal (tratamento clássico)[editar | editar código-fonte]

A precessão do vetor momento angular num campo magnético.

Consideremos o efeito de um campo magnético fraco em um electrão em movimento circular numa órbita planar.

Assumindo que o campo magnético é aplicado ao longo do eixo z e o momento angular é orientado num ângulo θ com respeito ao eixo z, conforme mostrado na figura ao lado.^[2]

O torque agindo sobre ${\displaystyle {\vec {I}}}$ é dado por

${\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}={\vec {\mu }}\wedge {\vec {B}}}$

X

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este é direcionado para o plano da página, na direção de ф.

Agora, o torque também é igual a taxa de variação do momento angular, então nós temos

${\displaystyle {\vec {\tau }}_{l}={\frac {d{\vec {l}}}{dt}}=\mu _{i}\wedge {\vec {B}}=\gamma _{l}{\vec {l}}\wedge {\vec {B}}}$ (X)

X

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Mas

${\displaystyle |d{\vec {l}}|=l.\operatorname {sen} \theta .d\phi }$

Então a forma escalar da Equação (X) torna-se

${\displaystyle l.\operatorname {sen} \theta .{\frac {d\phi }{dt}}=\gamma _{l}.l.B.\operatorname {sen} \theta }$ (Z)

X

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Definindo a velocidade precessional pela relação:

${\displaystyle \omega _{L}={\frac {d\phi }{dt}}}$

De modo que Eq (Z) torna-se

${\displaystyle \omega _{L}=\gamma _{l}B={\frac {e}{2m}}B}$

X

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A velocidade angular ${\displaystyle \omega _{L}}$ é chamada a freqüência de Larmor.

Assim, o vetor momento angular realiza movimento de precessão em torno do eixo z na freqüência Larmor como resultado do torque produzido pela ação de um campo magnético sobre o seu momento magnético associado.

Usando a relação de Planck, a energia associada com a frequência de Larmor é

${\displaystyle \Delta E=\pm \omega _{L}\hbar =\pm {\frac {e\hbar B}{2m}}=\pm \mu _{B}B}$ (Y)

X

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onde os sinais se referem ao sentido de orientação. Será observado que esta diferença de energia é a energia potencial de um dipolo magnético cujo momento é um magnetão de Bohr.

A energia dipolar é dada pela relação

${\displaystyle \Delta E=-{\vec {\mu }}.{\vec {B}}}$

Na (Y), o sinal positivo corresponde ao alinhamento antiparalelo enquanto o sinal negativo (menor energia) indica alinhamento paralelo.^[2]

O efeito geral desta energia associada com a freqüência de Larmor é que, se a energia de um electrão tendo um momento ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{B}}$ é ${\displaystyle E_{o}}$ na ausência de um campo aplicado, então num campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ele pode assumir uma das energias

${\displaystyle E_{0}\pm \mu _{B}B}$

Transições com e sem campo magnético

Assim, numa coleção de partículas atómicas idênticas do tipo discutido, um campo magnético produz um tripleto de níveis, chamado um tripleto de Lorentz cujas energias são

${\displaystyle E_{0}}$ e ${\displaystyle E_{0}\pm \mu _{B}B}$

X

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Este fenômeno é conhecido como efeito Zeeman normal.

O efeito Zeeman é, na verdade, mais complexo do que foi apresentado no tratamento clássico. O spin do elétron é excluído no modelo clássico.

Assim, quando um campo magnético é aplicado os momentos angulares orbital e de spin realizarão movimento de precessão.

As separações do nível energético resultantes não podem ser explicadas classicamente e assim requerem um tratamento de mecânico quântico. Como consequência deste comportamento inexplicável, o efeito Zeeman mais geral, incluindo spin foi historicamente designado erradamente como o efeito Zeeman anómalo.

Hamiltoniano[editar | editar código-fonte]

O hamiltoniano total de um átomo em um campo magnético é:

${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}=H_{0}+\sum _{\alpha }\xi ({\vec {r_{\alpha }}}){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}-\sum _{\alpha }{\vec {\mu _{\alpha }}}\cdot {\vec {B}}}$

X

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onde ${\displaystyle H_{0}}$ é o Hamiltoniano não perturbado do átomo, e os somatórios sobre α são somatórios sobre os elétrons do átomo. O termo

${\displaystyle \xi ({\vec {r_{\alpha }}}){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}$

X

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é a junção LS para cada elétron (indexado por α). O somatório desaparece se há apenas um elétron. A ligação do campo magnético

${\displaystyle {\vec {\mu _{\alpha }}}\cdot {\vec {B}}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}(g_{L}{\vec {L}}+g_{S}{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}}$

X

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é a energia devida ao momento magnético μ do α-ésimo elétron. Ele pode ser escrito como somatório das contribuições do momento orbital angular e do momento angular de spin, com cada um multiplicado pelo fator g de Landé. Projetando o vetor quantidades no eixo z, o hamiltoniano pode ser escrito como

${\displaystyle H=H_{0}+\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}+\mu _{B}(g_{L}L_{z}+g_{s}S_{z})B_{z}\approx H_{at}+{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}(J_{z}+S_{z})B_{z}}$

X

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onde a aproximação resulta do fator g como ${\displaystyle g_{L}=1}$ and ${\displaystyle g_{S}\approx 2}$. O somatório sobre os elétrons foi omitido. Aqui, ${\displaystyle J_{z}=L_{z}+S_{z}}$ é o momento angular total, e a junção LS foi agrupada em ${\displaystyle H_{0}}$. O tamanho do termo interação H ' não é sempre pequeno, e pode induzir grandes efeitos no sistema. No efeito Paschen-Back, H ' não pode ser tratado como uma perturbação, já que sua magnitude é comparável (ou até maior) que o sistema ${\displaystyle H_{at}}$. O termo H ' não comuta com ${\displaystyle H_{at}}$. Em particular, ${\displaystyle S_{z}}$ não comuta com a interação spin-órbita em ${\displaystyle H_{at}}$.

O fator g de Landé[editar | editar código-fonte]

O momento magnético total não é colinear com o momento angular.

As contribuições orbital e de spin para o momento magnético são dadas por

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{l}={\frac {g_{l}.e}{2m_{o}}}.{\vec {L}}=-g_{l}.\mu _{B}{\sqrt {l(l+1)}}.{\hat {l}}}$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{s}={\frac {g_{s}.e}{2m_{s}}}.{\vec {S}}=-g_{s}.\mu _{B}{\sqrt {s(s+1)}}.{\hat {s}}}$

X

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Onde ${\displaystyle g_{l}=1\;e\;g_{s}=2,004\approx 2}$

Agora, quando ${\displaystyle {\vec {L}}\;e\;{\vec {S}}}$ combinam, temos

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}\;e\;{\vec {\mu }}={\vec {\mu }}_{l}+{\vec {\mu }}_{s}}$

${\displaystyle {\vec {\mu }}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}({\vec {L}}+2{\vec {S}})}$

X

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É evidente a partir das expressões para ${\displaystyle {\vec {J}}\;e\;{\vec {\mu }}}$ que o momento magnético total não é, em geral, colinear com o momento angular total, conforme ilustrado na Figura

Dado que ${\displaystyle {\vec {L}}\;e\;{\vec {S}}}$ precessiona em torno de ${\displaystyle {\vec {J}}}$ é aparente que ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ também precessiona em torno de ${\displaystyle {\vec {J}}}$

No entanto, o momento magnético eficaz, isto é a componente de ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ ao longo de ${\displaystyle {\vec {J}}}$ mantém o valor constante,

[Expandir]Demonstração

Definimos o fator g de Landé como

${\displaystyle g=1+{\frac {j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}}}$ (Z)

X

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E o momento magnético efetivo torna-se

${\displaystyle |\mu _{j}|=g.\mu _{B}{\sqrt {j.(j+1)}}}$

Para spin zero, a equação (Z) reduz-se ao caso clássico de g = 1 e para l = 0, g = 2. Agora estamos em uma posição para incluir o denominado efeito Zeeman anômalo.

O momento magnético correspondente ao longo da direção do campo, considerado como a direcção do eixo z, será então

${\displaystyle \mu _{z}-g.\mu _{B}.m_{l};}$

tendo uma energia dipolar magnética :

${\displaystyle E=g.m_{j}\mu _{B}B}$

X

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No caso de clássico, g = 1, mas na Equação acima, g depende dos números quânticos l, s e j.

Num campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$, tal que ${\displaystyle \mu _{B}B}$ é menor do que a energia de spin-órbita, j e ${\displaystyle m_{j}}$ são bons números quânticos e as energias dos estados se desdobram como mostrado na tabela a seguir.

Assim, o denominado efeito Zeeman "anómalo" é o que normalmente seria de esperar de um electrão tendo spin semi-inteiro em um campo magnético fraco.

O efeito Zeeman "normal" ou clássico não pode ocorrer para um único electrão em um campo magnético fraco devido o termo de spin na Eq (Z).

No entanto, nos átomos em que os spin são combinados para que o spin total seja zero, o valor de g para todos os estados espectroscópicos é o valor clássico e apenas três linhas espectrais são observadas.

RELATIVIDADE SDCTIE GRACELI EM:

Na física quântica, a interação spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou acoplamento spin-órbita) é qualquer interação de partículas de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atômica de elétrons devido a uma interação entre o momento de dipolo magnético do spin e o campo magnético interno do átomo gerado pela órbita do elétron em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o momento angular e da força nuclear forte, ocorre por prótons e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas.^[1] A interação spin-órbita é uma das causas da anisotropia magnetocristalina.

Momentos angulares e momentos magnéticos (imagem semi-clássica)[editar | editar código-fonte]

Uma corrente numa espira tem associado a ela um momento magnético

${\displaystyle {\vec {\mu }}=I.{\vec {A}}}$

X

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onde ${\displaystyle \scriptstyle I}$ é a intensidade da corrente e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {A}}}$ é o vector área cuja direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido consistente com a regra do parafuso de rosca direita. Onde,

${\displaystyle A=\pi .r^{2}}$

e i = carga do electrão X número de vezes por segundo que o electrão passa num dado ponto = e.f onde f é a frequência de rotação do electrão.

Módulo do momento de dípolo magnético

${\displaystyle |{\vec {\mu }}|=I.A=(e.f).(\pi .r^{2})}$

X

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Cuja direção é oposta a do momento angular orbital ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ porque o electrão possui carga negativa.

Agora

${\displaystyle |{\vec {L}}|=m.v.r=.(2\pi .f.r)r=2mf\pi .r^{2}={\frac {2m}{e}}.|{\vec {\mu }}|}$

X

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Portanto

${\displaystyle {\vec {\mu }}={\frac {e}{2m}}.{\vec {L}}}$ (Z)

X

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Dado que o momento angular é quantizado temos:

${\displaystyle {\vec {I}}=m\hbar {\hat {I}}}$

Na primeira órbita de Bohr, m = 1 e a equação (Z) torna-se

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{i}={\frac {-e\hbar {\hat {I}}}{2m}}=-{\vec {\mu }}_{B}{\hat {I}}}$ (Y)

onde ${\displaystyle \mu _{B}}$ é chamado magnetão de Bohr e o seu valor é dado por

${\displaystyle \mu _{B}={\frac {e\hbar }{2m}}}$

Pode-se ver da Equação (Y) que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {\mu }}_{i}}$ é anti-paralelo ao momento angular orbital.

O rácio entre o momento magnético e o momento angular orbital é chamado o rácio giromagnético clássico,

${\displaystyle \gamma _{i}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{i}}{\vec {I}}}{\Bigg |}={\frac {e}{2m}}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}}$ (X)

X

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O momento angular de spin também possui um momento magnético a ele associado.

O seu rácio giromagnético é aproximadamente duas vezes o valor clássico para o momento orbital, isto é,

${\displaystyle \gamma _{s}={\Bigg |}{\frac {{\vec {\mu }}_{s}}{\vec {S}}}{\Bigg |}={\frac {e}{m}}}$ (K)

X

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Isso significa que o spin é duas vezes mais eficaz em produzir um momento magnético do que o momento angular.

Equações (X) e (K) são muitas vezes combinados, escrevendo

${\displaystyle \gamma ={\frac {ge}{2m}}}$

X

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onde a grandeza g é chamada o fator de divisão espectroscópico. Para momentos angulares orbitais g = 1, para spin apenas g ≈ 2 (embora experimentalmente g = 2.004).

Para os Estados que são misturas de momento angular orbital e momento angular de spin, g não é inteiro .

Dado que

${\displaystyle s={\frac {1}{2}}\hbar }$

O momento magnético devido ao spin do electrão é:

${\displaystyle \mu _{s}=\gamma _{s}|{\vec {s}}|={\frac {e}{m}}.{\frac {\hbar }{2}}=\mu _{B}}$

X

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Assim, a menor unidade de momento magnético para o electrão é o magnetão de Bohr, quer se combine momento angular orbital ou spin.

A interação spin-órbita (mecânica quântica)[editar | editar código-fonte]

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.^[2]

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

${\displaystyle \Psi _{\text{total}}=\psi _{nlm}(r,\theta ,\phi ).\chi (spin).e^{-iE_{n}t/\hbar }}$

X

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${\displaystyle \Psi _{\text{total}}={\Bigg |}R_{nl}.e^{-i.E_{n}{\frac {t}{\hbar }}}{\Bigg \rangle }.|l,m\rangle .|s,m_{s}\rangle }$ (P)

X

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A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

${\displaystyle \lfloor {\hat {L}},{\hat {S}}\rfloor =0}$

Neste caso, ${\displaystyle \scriptstyle \Psi _{\text{total}}}$ é uma auto-função de ambos ${\displaystyle \scriptstyle L_{z}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle S_{z}}$ e portanto ${\displaystyle \scriptstyle m_{l}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle m_{s}}$ são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}}$ são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}}$ chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}}$.

Dado que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}.{\vec {S}}}$ não comuta quer com ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ ou com ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}}$, a equação (P) torna-se incorreta e ${\displaystyle \scriptstyle m_{l}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle m_{s}}$ deixam de ser bons números quânticos. 

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\frac {Ze}{r^{2}}}{\hat {r}}}$

X

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Onde ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {r}}}$ dirige‐se do núcleo em direção ao electrão. 

Assumindo que ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}}$ é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é: 

${\displaystyle {\vec {j}}=-{\frac {Ze}{c}}{\vec {v}}}$

X

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No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

${\displaystyle {\vec {H}}_{e}=-{\frac {Ze}{c}}{\frac {{\vec {v}}\wedge {\hat {r}}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}}$

X

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O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{e}=\gamma {\vec {H}}_{e}=-{\frac {e}{m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge \varepsilon }$

X

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Com energia potencial

${\displaystyle E_{e}=-{\vec {\mu }}_{s}.{\vec {H}}_{e}=-{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}}$

X

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As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].^[2]

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{L}=-{\frac {e}{2m_{0}c^{2}}}{\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}}$ (T)

X

V

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e por uma energia adicional dada por

${\displaystyle \Delta E=-{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}_{e}.{\vec {S}}}$

X

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As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

${\displaystyle {\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}=e{\vec {\varepsilon }}}$

X

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e então

${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {\varepsilon }}={\frac {1}{e}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {v}}\wedge {\vec {r}}={\frac {1}{em_{0}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}}$

X

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A equação (T) torna-se então

${\displaystyle {\vec {\omega }}_{L}=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}}$

X

V

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E a energia adicional

${\displaystyle \Delta E=+{\frac {1}{2m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {L}}.{\vec {S}}}$

X

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O produto escalar

${\displaystyle {\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar s}$

Para spin = ½

${\displaystyle {\vec {L}}.{\vec {S}}=m\hbar .{\frac {1}{2}}\hbar ={\frac {1}{2}}m\hbar ^{2}}$

A separação energética se torna então

${\displaystyle |\Delta E|={\frac {\hbar ^{2}m}{4m_{0}^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}$

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

${\displaystyle \Delta E={\frac {\lambda _{c}^{2}mZe^{2}}{r^{3}}}}$

Onde

${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}}$

X

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é o comprimento de onda de Compton

${\displaystyle \lambda _{c}={\frac {h}{m_{o}c}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {\lambda _{c}}{2\pi }}}$

X

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Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{r^{3}}}}$ i.e.

${\displaystyle {\Bigg \langle }{\frac {1}{r^{3}}}{\Bigg \rangle }={\frac {Z^{2}}{a_{o^{2}}n^{2}l{\Bigg (}l+{\frac {1}{2}}{\Bigg )}(l+1)}}}$

X

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para ${\displaystyle \scriptstyle l\neq 0}$

De modo que a separação energética se torna

${\displaystyle \Delta E={\frac {{\bar {\lambda }}_{c}^{2}m_{i}Z^{3}e}{a_{0}^{2}n^{2}l(l+1/2)(l+1)}}}$

X

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para ${\displaystyle \scriptstyle l\neq 0}$

Esquemas de acoplamento do momento angular[editar | editar código-fonte]

Consideramos até agora somente o acoplamento do spin e momento orbital de um único electrão por meio da interação spin-órbita. Nós agora vamos considerar o caso de dois electrões nos quais há quatro momentos constituintes.

O modelo de acoplamento j - j[editar | editar código-fonte]

Este modelo assume que a interação de spin-órbita domina as interações electrostáticas entre as partículas.

Assim, nós escrevemos para cada partícula

${\displaystyle {\vec {J}}_{1}={\vec {L}}_{1}+{\vec {S}}_{1}\;e\;{\vec {J}}_{2}={\vec {L}}_{2}+{\vec {S}}_{2}}$

X

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O momento angular total é obtido combinando ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}_{1}}$ e ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}_{2}}$ :

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {J}}_{1}+{\vec {J}}_{2}}$.

sendo assim temos

${\displaystyle j=|j_{1}+j_{2}|,|j_{1}+j_{2}-1|,.....,|j_{1}-j_{2}|}$

Ilustramos o acoplamento j-j aplicando-o a dois electrões p não equivalentes.

Para cada electrão

${\displaystyle j_{1}=j_{2}={\frac {1}{2}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$

X

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Em um campo magnético fraco, cada Estado de um determinado j irá desdobrar-se em (2j+1) estados, correspondendo aos valores permitidos de mj.

Embora o acoplamento j-j seja amplamente utilizado para a descrição dos estados nucleares observados em espectroscopia nuclear, não é adequado para muitos sistemas atómicos por causa das interações electrostáticas e outras interações entre os dois electrões.

O esquema de acoplamento de Russell-Saunders[editar | editar código-fonte]

O modelo de acoplamento de Russell-Saunders tem sido mais bem sucedido no enquadramento dos espectros atómicos de todos, excepto dos átomos mais pesados. O modelo pressupõe que a interação electrostática, incluindo forças de intercâmbio,

entre dois electrões domina a interação de spin-órbita. Neste caso, os momentos orbitais e os spins dos dois electrões combinam separadamente para formar

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {L}}_{1}+{\vec {L}}_{2}\;e\;{\vec {S}}={\vec {S}}_{1}+{\vec {S}}_{2}}$

X

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O momento angular total é dado, por

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}$

O valor absoluto de ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}}$ , corresponde a:

${\displaystyle |{\vec {L}}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar }$

onde os valores possíveis de L são:

${\displaystyle l=l_{1}+l_{2},l_{1}+l_{2}-1...l_{1}-l_{2}}$ para ${\displaystyle l_{1}\geq l_{2}}$

O número quântico l determina as características do nível:

${\displaystyle l=0,1,2...{\text{indicam os níveis}}\;S,P,D...}$

l=1, corresponde ao nível P, mas não significa necessariamente que a configuração de um dos electrões esteja individualmente num estado p.

As transições ópticas seguem as seguintes regras de seleção:

${\displaystyle \Delta l=\pm 1}$ para um só electrão

${\displaystyle \Delta l=0,\pm 1}$ para o sistema total.

significa que os estados quânticos dos dois electrões variam simultaneamente, e em direções opostas, o que só é possível quando o acoplamento é forte, como é o caso dos átomos pesados.

Para dois electrões-p não equivalente temos:

${\displaystyle {\textbf {l}}=2,1,\;ou\;0\;e\;s=1\;ou\;0}$

X

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Para cada l e s, os valores de j são ${\displaystyle |l+s|,|l+s-1|,....,|l-s|}$

para cada valor de j existem (2j+1) valores de ${\displaystyle \scriptstyle m_{j}}$. As combinações são dadas na tabela.

Observar-se-á que, apesar do número de Estados é uma vez mais 36 em um campo magnético fraco, as suas energias não são as mesmas que aquelas no esquema de acoplamento j-j